Si ya viste el video de funciones exponenciales que te dejé en el curso, entonces ya podés venir a resolver los ejercicios. ¡Empecemos! Sabemos que el dominio de las funciones exponenciales son todos los reales. Es importante que lo recuerdes. Hallemos el conjunto de ceros: $ 2 e^{x}-2=0$ $2 e^{x}=2 $ $e^{x}=1 $ $x=\ln (1) $

$x=0$ • $C^{0} = 0$

Hallemos los conjuntos de positividad y negatividad: Conociendo el conjunto de ceros y el dominio de la función podemos usar Bolzano. Como $C^{0} = 0$, eso significa que la función corta o toca al eje $x$, pero tenemos que evaluar su valor en los dos intervalos: $(-\infty, 0)$  y  $(0, +\infty)$ Tomamos un valor cualquiera dentro del primer intervalo y evaluamos la función:

$f(-1)=2 e^{-1}-2=-1,2642$

Hacemos lo mismo para el segundo intervalo:

$f(1)=2 e^{1}-2=3,4365 $

Por lo tanto: • $C^{+} =(0, +\infty)$

  • $C^{-} = (-\infty, 0)$ Hallemos la imagen, calculando su función inversa y calculando su dominio:  $ \begin{gathered} 2 e^{x}-2=y \\ 2 e^{x}=y+2 \\ e^{x}=\frac{y+2}{2} \\ x=\ln \left(\frac{y+2}{2}\right) \\ y^{-1}=\ln \left(\frac{x+2}{2}\right) \end{gathered} $ Para hallar su dominio, analizamos el argumento. $ \begin{gathered} \frac{x+2}{2}>0 \\ x+2>0 x>-2 \end{gathered} $  $Domf^{-1} = (-2 ;+\infty)$ • $Imf =(-2 ;+\infty)$ Asíntotas verticales: No hay, ya que no hay valores restringidos del dominio. • No hay AV Asintotas Horizontales:

$ \lim _{x \rightarrow \infty} 2 e^{x}-2=\infty $ Vemos que por el lado de infinito positivo no hay asintota. Sin embargo, por el lado de infinito negativo, tenemos asintota horizontal: $\lim _{x \rightarrow-\infty} 2 e^{x}-2=2 e^{-\infty}-2=2\left(\frac{1}{e^{\infty}}\right)-2=2\left(\frac{1}{\infty}\right)=2(0)-2=-2$   • Hay AH en $y=-2$ por izquierda La gráfica nos quedaría así: